La paradoja de Aquiles

Siguiendo con el tema de las paradojas, otra de las paradojas más famosas es la Aquiles y la tortuga.

Esta paradoja pertenece a las Paradojas de Zenón, que fueron planteadas por éste para apoyar la tesis de Parménides sobre la visión distorsionada del mundo, que en definitiva para Parménides se basada en la negación del movimiento.

“El guerrero Aquiles el de los pies veloces decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.”

Esta paradoja es fácilmente solucionable a partir del cálculo infinitesimal, que apareció con Leibniz y Newton aunque fuera propuesto mucho antes por el mismo Arquímedes.

La solución detallada con un estudio complementario y mucha, mucha base matemática, la teneis en un trabajo de Enrique García Pascual, de la Universidad de La Rioja.

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La paradoja de Russell

Hoy he visto un artículo de la wikipedia que me ha recordado las buenas clases de una asignatura que tuve llamada Matemáticas para la Ingenieria, impartidas por un matemático profesor de la Universidad de Jaén llamado Juan Navas. Este artículo hablaba de la Paradoja de Russell, una de las más conocidas, y que en su día apareció en una de las explicaciones de dicha asignatura.

La paradoja se trata de una falla en la definición de lo que es un Conjunto a nivel lógico, aunque para que no se pierdan los profanos, lo explicaré de una forma asequible. Se trata de que según la definición de Conjunto de Cantor, puede darse el caso de que un elemento pertenezca y no pertenezca a la vez a un conjunto, de forma que dado el caso sólo pertenecerá a su conjunto si no pertenece a él… Vale, así no llegamos a ningun lado.

Veamos entonces un ejemplo con el que siempre se ilustra esta paradoja, que es con la Paradoja del Barbero.

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

– En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió por siempre feliz.

Formalizando esto, para los que entiendan algo de lógica formal:

afeita(x,barbero) sii ¬afeita(x,x) *

Lo que quiere decir que una persona será afeitada por el barbero, si y sólo sí no se afeita a sí misma. Pero si el esa x, el individuo, es el propio barbero:

afeita(barbero, barbero) sii ¬afeita(barbero,barbero)

Y según esta expresión, un barbero se afeitara a si mismo, si y solo si, un barbero no se afeita a sí mismo. Contradicción clara, ¿verdad?

* En ambas expresiones lógicas, el símbolo “¬” significa negación.

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Enrico Fermi

Enrico Fermi

Enrico Fermi fue un físico italiano de principios de siglo XX creador del primer reactor nuclear y el desarrollo de la teoría cuántica. Desde joven era muy bueno resolviendo problemas físicos teóricos y gozaba de una memoria prodigiosa. Estudio en la Universidad de Pisa y dio clases en Florencia y Roma. Tras esto se dedicó a la investigación en el campo de la física nuclear y cuántica.

En 1927 se convirtió en profesor de la Universidad de Roma, yendo algunos años después a Michigan, a dar cursos universitarios de verano. A partir de 1930 pasó sus veranos en Estados Unidos, trabajando, investigando y dando conferencias, en Universidad como las de Stanford, Chicago y Columbia.

En 1942, Fermi consiguió la primera reacción en cadena controlada de una fisión nuclear, creando asimismo la primera “pila nuclear�? en Chicago. Durante la segunda mitad de la Segunda Guerra Mundial, Fermi trabajó en Estados Unidos, en la base de “El �?lamo�? en el desarrollo de la primera bomba atómica dentro del proyecto Manhattan. En 1983, fue galardonado con el Premio Nobel de Física, por sus descubrimientos sobre nuevos elementos radioactivos y el uso de las radiaciones de neutrones. Además, en su honor encontramos el Premio Presidencial Enrico Fermi, los fermiones, el elemento químico Fermio.

El físico, tras trabajar durante años en sus investigaciones y como profesor en la Universidad de Chicago, murió de cáncer en 1954 a la edad de 54 años en la ciudad de Chicago.

Pero uno de los aspectos más curiosos e interesantes sobre Enrico Fermi, era su capacidad de resolver problemas con muy pocos datos. Para hacernos una idea, se cuenta que calculo la fuerza de una explosión por la distancia recorrida por unos papeles que mantenía en su mano. Encontramos de este modo y en su honor diversos conceptos llamativos, como el “problema de Fermi�?. Este problema plantea la pregunta de “¿Cuántos afinadores hay en Chicago?�?.

Fermi se basó en los siguientes suposiciones:

- Suponiendo que en Chicago viven cinco millones de personas.

- Que viven dos personas por casa de promedio.

- Que una de cada veinte casas tiene un piano afinado regularmente.

- Que se debe afinar un piano una vez al año.

- Que el tiempo que se tarda en afinar un piano ronda las dos horas.

- Y que el trabajo de un afinador conlleva 8 horas, durante 5 días cada semana, y 50 semanas cada año.

A partir de estas suposiciones, Fermi calculó de la siguiente manera la cantidad aproximada:

(5.000.000 personas) / (2 personas/casa) * (1 piano/20 casas) * (1 afinación por piano por año) = 125.000 afinaciones por año.

50 semanas * 5 días * 8 horas = 2000 horas al año,
(2000 horas/año) / (2 horas/afinación) = 1000 afinaciones por año.

125000 afinaciones anuales en Chicago / 1000 afinaciones por año y afinador =
125 afinadores.

Este calculó, pese a ser impreciso, lo es por las suposiciones desde las que se parte. Sin embargo, este método es usado por los científicos por su simpleza ante problemas que no necesitan de la precisión de datos que facilitaría un calculo exacto.

En definitiva, Enrico Fermi fue una de esas mentes maravillosas que demostró que un pensamiento veloz y una buena dosis de lógica son igualmente válidas que una grandísimas cantidad de datos exactísimos susceptibles de contener errores totalmente exactos.

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Lluvias de meteoros

Lluvias de meteoros

Lo que todos conocemos como “estrellas fugaces” es en realidad un fenómeno mucho mas común de lo que podríamos pensar. Las “estrellas fugaces” son (como casi todo el mundo sabe) lluvias de meteoros. Para simplificar, el Sol y las corrientes activas de su superficie crean un efecto conocido como viento solar que se extiende por el Sistema Solar. Cuando un cometa cruza el sistema y se topa con estos vientos solares, la superficie del cometa desprende gases y materiales, que siguen un recorrido en estela del cometa. Estos “desperdicios” del cometa, son fragmentos que cíclicamente se cruzan con la atmosfera de la Tierra, creando el fenómeno atmosférico de las estrellas fugaces.

En realidad, cuando una de estas partículas entra en contacto con la atmósfera, ésta reacciona con el material y crea el efecto luminoso. Normalmente, estas partículas no son más que granos de arena, y solo en el caso de que sea de un tamaño considerable, el material llegaría a la superficie; en este caso, sería un meteorito.

El caso es que estos efectos sobre la atmósfera provocados por las partículas, son cíclicos. Siempre aparecen en determinadas zonas de la bóveda celeste, y según la zona y la época, se denominan de un modo u otro.

De este modo, llamamos Leónidas a la lluvia de meteoros que tiene lugar entre el 15 y el 21 de Noviembre y que aparecen sobre la constelación Leo, o llamamos Perseidas a las que aparecen sobre la constelación Perseo entre el 17 y el 24 de Agosto.

Perseus Leo

Cuando vemos una lluvia de meteoros, hay una serie de parametros que podemos considerar para conocer algo más sobre lo que estamos viendo:

• El radiante: indica el lugar desde donde parecen originarse los meteoros; se mide mediante dos parametros; alfa, que es la ascension recta; y delta, que es la declinación. El realidad, el radiante no deja de ser un área de la bóveda celeste donde convergen las trayectorias de origen de la lluvia de meteoros.

• La Tasa Horaria Zenital: es el número máximo de meteoros observables en condiciones totalmente ideales, si uno está situado con la radiante justo sobre la cabeza. Esta posicion respecto al radiante, es decir, justo debajo, se le llama el cénit.

• El indice poblacional: es la distribución de las magnitudes brillantes de los meteoros. Es decir, este índice nos da la relacion de magnitudes (de su masa, de su tamaño) de los meteoros.

Si buscamos estos datos sobre una lluvia de meteoros y los tenemos en cuenta usando un mapa celeste, también nos puede servir para localizar el lugar y el día con las mejores condiciones para ver el gran espectáculo del cielo. Actualmente, en esta fecha, se puede observar la lluvia de perseidas con un alfa 046 y un delta +58, y con una tasa horaria zenital de 100 el día 12 de agosto, que va descendiendo progresivamente hasta el fin de la lluvia, el dia 24 de agosto.

Etiquetas: Astronomía, Ciencia

Kurt Gödel

Os voy a contar una cosa sobre matemáticas y ciencia. Sé que estos temas os suelen aburrir, porque no os gustan. Pero, detrás de todo genio, hay una historia, y por eso, hoy os voy a hablar de un genio.

El caso es que hoy leía un artículo sobre “La mente más maravillosa del Siglo XX�? en referencia a aquella película llamada a “A Beatifull Mind�? [IMDB]. En realidad, resulta que la mente más maravillosa del siglo XX para el autor del artículo es Kurt Gödel. Este hombre fue matemático coetáneo, colega y compañero de Einstein (que a este hombre seguro que sí lo conoceis). De hecho, Einstein dijo “Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel“. En realidad, Gödel era el único que podía seguir a Einstein en sus interminables charlas sobre física, matemática y cosmos; charlas, que con los años marcaron un hito por ser irrepetibles.

Gödel enunció su Teorema sobre la Incompletud, que a grandes rasgos se refiere a que “existen cosas que son ciertas y que no pueden probarse o bien existen cosas que pueden probarse y no son ciertas”. Lo mejor de todo esto es que no solo enunció su teoría sino que la probó con todas las de la ley. Ya sé que muchos no entendeis ésto (yo aún no lo entiendo del todo, pero explico lo poco que comprendo al final *), pero ahora es cuando viene lo interesante.

Alrededor de este hombre se ha creado una historia dramática. Sufrió persecución nazi y viajó por ello a los EEUU, justo después de que un estudiante nazi asesinara al fundador del Circulo de Viena, Moritz Schlick mentor y amigo de Gödel. Una vez en los Estados Unidos, Gödel sufrió secuelas psicológicas traumáticas: depresiones constantes, paranoia, manía persecutoria, etc.

Aunque como se puede ver, Gödel no tenía una vida tranquila precisamente, sus enunciados tuvieron una repercusión enorme. Además se tiene que tener en cuenta que Einstein recurrió a Gödel para apoyarse en enunciados matemáticos para construir su Teoria de la Relatividad General y las ecuaciones sobre el Campo Gravitatorio Universal.

Gödel murió en 1978, tras una fuerte recaída en su estado mental. Su mujer cayó enferma y tuvo que ser trasladada al hospital. Durante ese tiempo, Gödel se convenció a sí mismo de que había una conspiración contra él, por lo que se negó a probar bocado. Murió de inanición, con 30 Kg de peso, en Princeton, en 1978.

Todo ésto, me ha llevado a pensar que siempre, siempre, siempre, las mentes maravillosas tienen vidas complicadas. Creo que fue Lowachevski quien dijo: �?La inteligencia te conduce inevitablemente hacia la desgracia y la locura del mismo modo que la desgracia y la locura despiertan la inteligencia�?.

* El Teorema de la Incompletud se refiere a que hay cosas indemostrables pero que son totalmente reales y ciertas, por lo cual se justifican las verdades que escapan a la ciencia razonada.

JesúsR

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